Taxa de Juros Aparente e Taxa de Juro Real.

Trabalho de Matemática Financeira

Taxa de Juros Aparente e Taxa de Juro Real.

Taxa aparente é aquela que vigora nas operações correntes.

 Taxa de juro real é o rendimento ou custo de uma operação, calculado depois de serem

expurgados os efeitos inflacionários.

Ou seja:

Taxa Real, é a taxa aparente descontado a inflação do período.

A taxa real reflete com maior precisão o ganho real de um investimento por considerar a perda com a desvalorização causada pela inflação do período.

Existe uma relação matemática entre taxa aparente e taxa real e inflação.

(1+ia ) = ( 1+ir) x (1+Ii)

Ia = taxa aparente

Ir = taxa real

Ii +inflação

Ex:

Após 15 meses um investidor teve 21% de rendimento, sabendo que nesse período a inflação foi de 9%, qual a taxa real do investimento?

(1+ 0,21 ) =( 1+ir)x( 1 +Ii)

(1+ir) = (1,21/109)

Ir = 1,11-1

Ir = 0,11

Ir=11%

Taxa Efetiva em Moeda Nacional para Operações .

 A rentabilidade ou perda de uma aplicação em moeda estrangeira estará em função da

taxa de juros contratada e da variação da cotação da moeda nacional com relação à moeda

estrangeira ou uma cesta de moedas.

(1+imn)=( 1+ime)x(1+id)

imn = taxa efetiva nacional

ime = taxa efetiva em moeda estrangeira

 itd = taxa de valorização/desvalorização da moeda nacional

Ex: Um investidor estrangeiro aplicou, no Brasil, o equivalente à US$1.500,00,

no início de um dado ano, quando a taxa de câmbio era de R$2,75 por US$1,00. Tendo

sido verificado que seu rendimento em reais foi à taxa de 18% a.a. ao fim de 1 ano,

quando a taxa de câmbio passou a ser de R$1,80 por US$1,00, qual foi a rentabilidade, em

termo de dólares, do investidor?

Temos:

Capital Investido = US$ 1500 x 2,75 = R$ 4125,00

Montante em reais S = cx(1+i)^n = 4125x(1+0,18)^1= 4867,50

Montante em dólares=R$ 4867,50 / 1,80 = US$ 2.704,17

Taxa Efetiva:

Ime = S-C / C = Juros / C = 2704,17-1500 / 1500 = 80% aa.

Fonte=

Assaf Neto, A Lima, F.G curso de administração Financeira. 2 . ed São Paulo: atlas 2011.

Carlos Patrício Samanez 5º edção Matemática Finaceira

http://academico.mbacorporativo.com.br/arquivo/Apostila_Matematica_Finananceira.pdf

Juros Compostos

Juros Compostos

Uma pessoa toma emprestado o valor de R$ 3.000,00, a juros composto de 3% ao mes, pelo prazo de 3 meses. qual o montante a ser pago?

PV = 3.000,00

i  = 3% am / 100 = 0,03

n = 3 meses

FV = ?

                                                                           HP 12C                   

FV = PV* (1+i)^n                                              3.000,00 enter

FV = PV 3.000,00*91+0,03)^3                         1 enter

FV =3.000,00 * 109                                           0,03 +

FV + 3.278,18                                                    3 y^x         

                                                                           3.278,18                 



2 - Calcule o capital inicial que no prazo de 5 meses a 3% ao mês, produziu o montante de R$ 4.058,00  , no regime de capitalização composta.

PV = 
FV = 4.058,00
i3% am
n = 5m
FV=PV*(1+i)^n
4.058,00= PV*(1+0,03)^5  inverso

PV= 4.058,00/(1,03)^5
PV= 4.058,00/ 1,159274074
PV=3.500,47

hp 12 c
4058,00 chs  fv
5 n
3 i
pv


Diferença de juros simples e composto.
Simples.
Uma empresa para efetuar o pagamento de duas encomendas, deve dispor de $15.000,00 daqui 3 meses e 20.000,00 daqui a 8 meses. Para tanto, deseja aplicar hoje uma quantia X que lhe permita retirar as quantias necessárias nas datas devidas, ficando sem saldo no final. Se a aplicação for feita a juros simples, à taxa de 4% ao mês, qual devera ser o valor X.

                                                          X--------------------15.000---------------------------20.000
                                                                                          3 meses                                       8 meses  


x1                                                                                     x2        
m = c (1+i.n)                                                                     m=c(1+i.n)
c = m/ ( 1+i.n)                                                                   c=m/(1+i.n)               
c=15.000,00/ (1+0,04.3)                                                   c= 20.000,00/(1+0,04.8)
c = 13.392,86                                                                    c= 15.151,52

                                          soma de 15.151,52 + 13.392,86 = 28.544,38

juros composto
Uma empresa tem uma divida de $3.000,00 com vencimento em 2 anos e uma dívida de $4.500,00 com vencimento em 6 anos. Pretende quitar seus débitos por meio de um pagamento único a ser realizado ao final de 4 anos. Considerando uma taxa de juros composta de 10% a.a, determinar o valor do pagamentoúnico que liquida a dívida.



                                      p 3.000,00                         X                                           m=4.500,00                              
0-----------------------2---------------------------4------------------------------6
                                           2 anos                                            2 anos                
                                     -------------------------          -------------------------            

                                                                                                         
i = 10% a.a            M=p(1+i.)ñ
p = 3.000,00          m=3.000,00(1+0,10)2
m=                          m=3.630,00
n=2 anos                                                                                                                  

m = 4.500.00         m=p(1+i.)n
p =                         4.500,00 = p (1+0,10)2
n = 2 anos               4.500,00= p 1,21
i = 10 % a.a             4.500,00/1,21 = 3.719,00
       3.630,00+ 3.719,00 = 7.349,00
      





                                           

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10 Exercícios resolvidos sobre porcentagem

01 – Um produto que custava R$120,00 passou a custar R$380,00. Qual a porcentagem de aumento do preço desse produto?

02 – Após um aumento, um produto de informática que custava R$1.300,00 passou a custar R$2.100,00. Calcule a porcentagem de aumento.

03 – Com o aumento da demanda, o comerciante aumentou o preço do produto em 35%. Sabendo que o produto custava R$400,00, qual é o novo preço?

04 – Se um computador custava R$4.500,00 e agora custa R$6.000,00, então ele sofreu um aumento de quantos por cento?

05 – O vendedor ofereceu um desconto de 20% sobre o preço de um sapato que custa R$360,00. Qual é o valor do desconto?

06 – Com um desconto de 15% um produto passou a custar R$700,00. Qual era o preço antes do desconto?

07 – Qual é o desconto, em reais, que um vendedor concedeu ao tirar 16% do preço de um produto que custava R$7.800,00?

08 – O vendedor deu um desconto de 42% e o produto passou a custar R$5.000,00. Qual era o preço antes do desconto?

09 - O vendedor ofereceu um desconto de 13% sobre o preço de um celular que custa R$1.460,00. Qual é o valor do desconto?

10 – O vendedor ofereceu um desconto de 60% sobre o preço de um celular que custa R$2.500,00. Qual é o valor do desconto?

BÔNUS - Um produto teve um aumento de 20% e depois um desconto de 15%, ficando com o preço final de R$1.600,00. Qual era o preço inicial do produto?

Autor: Guilherme Yoshida. Site: Como Calcular Quero deixar aqui meu agradecimento ao Hermes pela oportunidade de contribuir com o blog. Acredito que a internet é um meio de aprendizagem incrível e deve ser explorado ao máximo. Os blogs voltados para a educação ajudam muitos estudantes. Obrigado e parabéns pela iniciativa do blog.

Juros Simples

Determinar o prazo em que um dado capital dobra de valor se aplicado a uma taxa de 5% am. Em quanto tempo triplicará?


Sei as respostas: (a) 20 meses, (b) 40 meses. mas não sei como fazer a resolução.

Vamos detalhar as duas situações: 

O capital dobra;

Para que o capital C dobre, os juros obtidos têm que ser iguais ao capital. Se temos 2C de rendimento é porque J = C. Assim:

J = C.i.t, com i = taxa na forma decimal;
C = C.0,05.t
C/C = 0,05.t
0,05.t = 1
t = 1/0,05
t = 20 meses!!! (O capital dobrará em 20 meses!!)

O capital triplica;

Para que o capital C triplique, temos um rendimento de 2C, ou seja, duas vezes o capital. Assim, J = 2C. Assim:

J = C.i.t, onde i = taxa em decimal;
2C = C.0,05.t
2C/C = 0,05.t
0,05.t = 2
t = 2/0,05
t = 40 meses!!! (O capital triplicará em 40 meses!!!) 

Lista 8 exercicios desconto composto.

LISTA DE EXERCÍCIOS - Nº 8 – DESCONTO RACIONAL COMPOSTO

1Calcule o valor atual racional composto de um titulo no valor nominal de R$ 1.120,00, com vencimento para 2 anos e 6 meses, à taxa de juro composto36% ao ano, capitalizados semestralmente. Resposta: R$ 489,56.

vn = 1.120

n = 2 anos e 6 meses = 5 semestres

i = 35% ao ano = 0,36/2 semestres = 0,18 ao semestre

Va = Vn /(1+ i )^n

v a = 1.120 / (1+0,18)5

va = 1.120 / 2,2877

va = R$ 489,57

 2) Qual o desconto racional composto que um titulo de R$ 5.000,00 descontado 3 meses antes do seu vencimento, à  taxa de 2,5% ao mês? Resposta: R$ 357,00.

 Vn = 5000,00

N = 3 meses

I = 2,5% = 0,025

Va = ?

Va = vn / ( 1 + i ) ^3

 va = 5.000 / (1 + 0,025)3

  va = 5.000 / 1,07689

  va  = 4.643

drc = vn - va

 drc  = 5.000 – 4.643

  drc = R$ 357,00

3) Um titulo de valor nominal de R$ 1.500,00 foi resgatado 3 meses antes de seu vencimento, tendo sido contratado à taxa de 30% ao ano, capitalizados mensalmente. Qual foi o desconto racional composto concedido? Resposta: R$ 107,10.

Vn = 1500,00

N = 1.500

n = 3 meses

 i = 30% ao ano = 0,3/12 = 0,025 ao mês

va = vn / 1 + i)^3

 Va = 1.500 / (1 + 0,025)3

va = 1.500 / 1,07689

 va = 1.392,89

drc = vn -va

 drc = 1.500 – 1.392,89 = drc  R$ 107,10

 4) Em uma operação de desconto racional composto, o portador do titulo recebeu R$ 36.954,00 como valor de resgate. Sabendo que a antecipação foi de 4 meses e o desconto de R$ 3.046,00, qual a taxa de juro mensal adotada? Resposta: 2% ao mês.

Va = 36954,00

N = 4 meses

Drc = 3.046,00

Taxa de desconto efetiva exponencial, que é calculada conforme segue:

 Fórmula: de = (Vn/Vr)^(h/n) -1

 Substituindo os dados na fórmula, temos:

 de = (40000/36954)^(360/120) -1

de = 1,082426801^3 -1

de = 1,268222958 -1

de = 0,268222958 a.a.

de = 1,268222958^(1/12) - 1 a.m.

de = 1,019998738 - 1 a.m.

de = 0,019998738 a.m.

de = ~ 2% a.m.

 Obs.: esta taxa, se aplicada ao valor de resgate (36954), pelo prazo de 4 meses, reproduz o valor nominal do título, ou seja:

1,019998738^4*36954 = 40.000.

Como o enunciado pede a taxa mensal de juros adotada na operação, a resposta é: i = ~ 1,85% a.m.

5) Desejamos resgatar um titulo, cujo valor nominal é de R$ 7.000,00, faltando ainda 3 meses para o seu vencimento. Calcule o seu valor atual, sabendo que a taxa de desconto racional composto é de 3,5% ao mês. Resposta: R$ 6.313,60.

vn = 7.000
n = 3 meses
va = ?

i = 3,5% ao mês

va = vn / (1+ i )^n

va = 7.000 / (1+0,035)3

va = R$ 6.313,60

6) Calcule o valor atual de um título de R$ 40.000,00, resgatado 1 ano e 4 meses antes do seu vencimento, sendo a taxa de desconto racional composto de 24% ao ano. Resposta: R$ 29.137,83.

 va = ?

 vn = 40.000

 n = 16 meses

 i = 24% ao ano = 24/12 = 2% ao mês

va = vn/(1+ i )^16

 va = 40.000 / (1+0,02)^16

va = 40.000 / 1,3728

 va = R$ 29.137,83

7) O valor nominal de um título é de R$ 200.000,00. Seu portador deseja descontá-lo 1 ano e 3 meses antes do seu vencimento. Calcule o valor do resgate sabendo que a taxa de desconto racional composto é de 28% ao ano, capitalizados trimestralmente. Resposta: R$ 142.597,24.

Vn  = 200.000

n = 1 ano e 3 meses = 5 trimestres

va = ?

i = 28% a.a = (28/4)x100 = 0,07 a.t

va = 200.000 / (1 + 0,07)5 =

 va = 200.000 / 1,40255 =

va = R$ 142.597,24

8) Determine o valor do desconto racional composto de um titulo de valor nominal de R$ 6.200,00, descontado 5 meses antes do seu vencimento `taxa de 3% ao mês. Resposta: R$ 851,83,

Vn = 6.200,00

N = 5 meses

I = 3% = 0,03

Va = ?

Va = vn/( 1 + i)^n

6.200,00 / 1,03^5= 5.348,17

Dc = vn-va = 

Dc = 6.200 – 5.348,17 =

Dc = R$ 851,83

9) Calcule o desconto racional composto obtido em um título de valor nominal de R$ 3.800,00, resgatado 8 meses antes do seu vencimento, sendo à taxa de desconto de 30% ao ano, capitalizados bimestralmente. Resposta: R$ 673,73.

fórmula do desconto é dada por D=M(1-(1+i)^-n), vide referência [1]

 4) A taxa bimestral é de 30/6=5%. Por ser uma taxa capitalizada em dois meses, nós temos apenas que dividir a taxa nominal por 6. Veja na referência [2]. Essa é um nomenclatura da matemática financeira gera muita confusão.

  Então i=5% a.b. e n=4 bimestres:

 D = 3800(1-(1+0,05)^-4) = 673,73

 10) A que taxa de desconto racional composto foi descontada uma divida de R$ 5.000,00 que, paga 5 bimestres antes do seu vencimento, reduzida a R$ 3.736,00? Respostas: 6% ao bimestre.

 Drc = vn – va

drc = 5.000,00 – 3.736,00

N = 5 bimestre

11) Por um titulo de R$ 2.300,00 paguei R$ 2.044,00 com um desconto racional composto de 3% ao mês. De quanto tempo antecipei o pagamento? Resposta: 4 meses.

Vn = 2.300,00

Va = 2.044,00

I = 3% = 0,03

N = ?

Drc = vn – va

Drc = 2300 – 2.044 = 256

 12) Calcule o valor atual do desconto racional composto, à taxa de 2,5% ao mês, do capital de R$ 6.000,00 disponível no final de 4 meses. Resposta: R$ 5.435,70.

 I = 2,5 = 0,025

Vn = 6.000,00

N = 4 meses

Va = vn /1+ i )^n

Va = 6000/1,103812891

Va = R$ 5435,70

13) Qual o valor atual de um título de R4 15.000,00 , resgatado a 6 meses de seu vencimento, sabendo que a taxa de desconto racional composto é de 6% ao bimestre? Resposta: R$ 12.594,29

Va = 15.000,00

N = 6 meses = 3 bimestre

I = 6% = 0,60

D = N[(1 + i)^n - 1]/(1 + i)^n

 D = 15000[1,06^3 - 1]/1,06^3

 D = 2405,71

 Como D = N - A, vem:

 2405,71 = 15000 - A

 A = 15000 - 2405,71 = 12594,29

14) Um titulo no valor nominal de R$ 2.000,00 sofreu um desconto racional composto real de 40% ao ano, capitalizados semestralmente, 2 anos antes do vencimento. Qual o seu valor atual? Resposta: R$ 964,51

Vn = 2.000,00

I = 40% = 0,40

N= 2 anos

Drc = vn[(1 + i)^n - 1]/(1 + i)^n

 Drc = 2000[1,2^4 - 1]/1,2^4

 Drc = 1035,49

 va = N - D

 va = 2000 - 1035,49 = 964,51

15) Um titulo de R$ 75.000,00 foi resgatado, com um desconto racional composto de 3,5% ao mês, por R$ 67.646,00. Calcule o tempo de antecipação do resgate. Resposta: 3 meses.

D = N - A

 D = 75000 - 67646 = 7354

 D = N[(1 + i)^n - 1]/(1 + i)^n

 7354 = 75000[1,035^n - 1]/1,035^n

 7354.1,035^n/75000 - 1,035^n = -1

 1,035^n(7354/75000 - 1) = -1

 1,035^n = -1/(7354/75000 - 1)

 1,035^n = 1,108713006

 log(1,035^n) = log(1,108713006)

 n.log(1,035) = log(1,108713006)

 n = log(1,108713006)/log(1,035)

 n = 2,999872344 => ~3 meses

 16) Uma letra paga 5 meses antes do seu vencimento, com um desconto racional composto de 4% ao mês, ficou reduzida a R$ 24.658,00. Calcule o valor da letra. Resposta: R$ 30.000,23.

D = N - A => D = N - 24658

  mas D = N[(1 + i)^n - 1]/(1 + i)^n, donde vem:

 D = N[(1 + i)^n - 1]/(1 + i)^n

 N - 24658 = N[1,04^5 - 1]/1,04^5

 N - N[1,04^5 - 1]/1,04^5 = 24658

 N(1 - 0,178072893) = 24658

 N = 24658/0,821927107

 N = 30.000,23

17) Um titulo de valor nominal de R$ 30.000,00 foi resgatado 1 ano e 6  meses antes do vencimento por R$ 23.037,00. Qual foi a taxa trimestral de desconto racional composto? Resposta: 4,5 ao trimestre.

 Vn = 30.000,00

N = 18 meses =  6 tri

Va = 23.037,00

18) Um titulo pagável em 1 ano e 6 meses sofre um desconto racional composto real de R$ 21.065,00. Calcule o valor nominal do titulo, sabendo que a taxa empregada nessa transação é de 40% ao ano, capitalizados semestralmente. Resposta: R$ 50.000,44.

  n =18 meses = 1,5 ano

 Va = 21.065,00

I  = 40 % = 0,40/12= 0,033 . 6 = 0,20

Vn = va . (1+i)^n

vn = 21.065,00/( 1+0,20)^3

vn = 21.065,00/1,030149504

vn = 20448,49

atençao

19) Um comercial papper com valor de face de US$ 1.000.000,00 e vencimento 3 anos deve ser resgatado hoje a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, e considerando o desconto racional composto, obtenha o valor de resgate. Resposta: US$ 751.314,80

Vn = 1.000.000,00

N = 3 anos

I = 10% = 0,10

Drc = vn – va

Va = vn/(1+i)^n

Va = 1.000.000,00 / 1+0,10^3

Va = 1.000.000,00/ 1331

Va = 751. 314,80

20) Uma empresa estabelece um contrato de leasing para o arrendamento de um equipamento e recebe como pagamento uma promissória no valor nominal de US$ 1.166.400,00, descontada 2 meses antes de seu vencimento , à taxa de 8% ao mês. Admitindo-se que foi utilizado o sistema de capitalização composta, determine o valor do desconto racional composto. Resposta: US$ 166.400,00.

É a fórmula dos juros compostos "invertida":

  P = C (1+i)^n

  C = P ÷ (1+i)^n

 C = R$ 1.166.400,00 ÷ ( 1+ 0,08 )²

 C = R$ 1.166.400,00 ÷ 1,1664

  C = R$1.000.000,00 ......(valor atual corrigido á taxa de 8%)

 R$166.400,00

21) Uma duplicata no valor de R$ 2.000,00, é resgatada 2 meses antes do vencimento, obedecendo o critério do desconto comercial composto. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial composto é de R$ 10% ao mês, determine o valor descontado e o valor de desconto. Respostas: R$ 1.620,00 e R$ 380,00.

 A=N(1-i)^N

A=2.000(1-0,1)^2

A=1620

 N-A=D

2000-1620=D

 D=380

 22) Um titulo no valor nominal de R$ 59.895,00 foi pago 3 meses antes do vencimento.Determine o valor liquido, sabendo-se que a taxa mensal de desconto racional composto é de 10%. Resposta: R$ 45.000,00.

Vn = 59.895,00

N = 3 meses

I = 10% = 0,10

Drs =vn – va

Va = vn/ (1+i)^n

Va = 59.895,00/1+0,10^3

Va = 59.895,00/1,331

Va = R$ 45.000,00

DESCONTO COMERCIAL E RACIONAL SIMPLES – TAXA EFETIVA

https://www.youtube.com/watch?v=FxiTGoC_Das

https://www.youtube.com/watch?v=FxiTGoC_Das

5 – JURO SIMPLES – MONTANTE - DESCONTO COMERCIAL E RACIONAL SIMPLES – TAXA EFETIVA

1)      Uma duplicata no valor de R$ 25.000,00 é descontada em um banco 2 meses antes do seu vencimento, à taxa de desconto comercial simples de 2,5% ao mês. Sabendo-se que o banco cobre 1% a título de despesas administrativas e que o IOF é 0,0041% ao dia sobre o valor do título, obter o valor recebido pelo portador do título. Outra alternativa seria tomar um empréstimo com a taxa liquida de 2,8% ao mês. Qual é a melhor opção? Resposta: Valor atual (liquid0) de R$ 23.438,50. A operação de empréstimo com a taxa liquida de 2,8% ao mês, neste caso, será a melhor opção.

 

Dados: VN = R$ 25.000,00; n = 2 meses;

i = 2,5% ao mês; iadm= 1%; iIOF = 0,0041%;

i = 2,8% ao mês (empréstimo)

VL = ? DBS = ? DIOF = ? Dadm = ?

ONDE:

D = despesas

DIOF = despesas com IOF

Dadm = despesas administrativas

VL = VN – DBS – DIOF – Dadm

DBS = VN . i . n

DBS = 25.000,00 . 0,025 . 2 = R$ 1.250,00

Dadm = 25.000,00 . 0,01 = R$ 250,00

DIOF = 25.000,00 . 0,000041 . 60 = R$ 61,50

VL = 25.000,00 – 1.250,00 – 250,00 – 61,50

VL= R$ 23.438,50

 

 

 

 

 

 

 

2) Uma empresa apresenta o borderô de duplicatas abaixo, para serem descontadas num banco à taxa de desconto bancário simples de 3% ao mês. Qual o valor atual (liquido) total recebido pela empresa?

DUPLICATA	VALOR R$	PRAZO (VENCIMENTO)
A	2.500,00	25 dias
B	3.500,00	57 dias
C	6.500,00	72 dias

Resposta: R$ 11.770,00

 2)i=3%am=36%aa

A- D= 2500.25.36 /36000=62,50

A= 2500 -62,50=2437,50 ******

B- 3500 .25 .36 /36000= 87,50
A= 3500-87,50=3412,50 *****

C- 2500.45.36 /36000 = 112,50
A= 2387,50

Total dos atuais:
2387,50 + 3412,50 +2437,50= 8 237,50

 

 

 

 

3) Um título com valor nominal de R$ 110.000,00 foi resgatado 4 meses antes do seu vencimento, tendo sido concedido um desconto racional simples à taxa de 10% ao mês. De quanto foi o valor pago pelo título? Resposta: R$ 78.571,43.

 

 N = 110.000
D = desconto racional simples ?
i = taxa de 10 %/ 100 = 0,10
T = tempo 4 meses
N=D.(1+i.t)
110.000 = D.(1+0,40)
110.000 = D . 1,40
D = 110.000/1,40
D = 78.571,43

 

 

 

 

4) Admita-se que uma duplicata tenha sido submetida a 2 tipos de descontos. No primeiro caso, a juros simples, a uma taxa de 10% ao ano, vencível em 180 dias, com desconto comercial simples (por fora). No segundo caso, com desconto racional simples(por dentro), mantendo as demais condições. Sabendo-se que a soma dos descontos, por fora e por dentro, foi de R$ 635,50. Qual o valor nominal do título? Resposta: R$ 6.510,00.

 dF = N.i.n
dF = N.10 / 100 . 0,5
dF = 5.N/100
N/20
dD = N . i .n /1+i . n
dD = N . 0,10 . 05 / 1 + 0,10 . 0,5
dD = 0,05 . N/1,05
dD = 5.N/ 105
dD = N/ 21

Pelo enunciado, temos ainda:

N/ 20 + N / 21 = 635,50
21.N / 420 + 20 . N / 420 = 266.910 / 420
21 . N + 20 .N = 266.910
41 . N = 266.910
N = 6.510

 

 

 

 

 

5) Uma empresa descontou uma duplicata em um banco que adota uma taxa de 84% ao ano no desconto comercial simples. O valor do desconto foi de R$ 10.164,00. Se na operação fosse adotado o desconto racional simples, o valor de desconto seria reduzido em R$ 1.764,00. Nessas condições, qual o valor nominal da duplicata?  Resposta: R$ 48.400,00.

 Resolução:

O desconto simples atua sobre o valor nominal do título, enquanto que o desconto racional atual sobre o valor atual. Sendo isso, temos as relações:

ds = N * i * n => N = ds / (i * n)
dr = A * i * n => A = dr / (i * n)

Onde ds é desconto simples, dr é desconto racional, N é o valor nominal do título, A é o valor atual, i é a taxa percentual de desconto e n é o período de antecipação do resgate.

Segundo o enunciado, temos:

ds - dr = 1764
10164 - dr = 1764
dr = 8400

O valor nominal de um título é dado por:

N = A / (1 - i * n) - para descontos simples

ou

N = A * (1 + i * n) - para descontos racionais

Como A = dr / (i * n), vem:

A = 8400 / (0,84n)

E como N = ds / (i * n), vem:

N = 10164 / (0,84n)

Basta dizer agora que N = A * (1 + i * n).

10164 / (0,84n) = (8400 / (0,84n)) * (1 + 0,84n)
10164 / (0,84n) = (8400 * (1 + 0,84n)) / (0,84n)
10164 = 8400 * (1 + 0,84n)
1,21 = 1 + 0,84n
0,84n = 0,21
n = 0,25 anos (3 meses de antecipação)

Portanto, finalmente, com o valor da antecipação calculado, temos que o valor nominal é igual a:

ds = N * i * n
10164 = N * 0,84 * 0,25
N = 10164 / 0,21
N = 48400

Resposta: O valor nominal do título equivale a R$ 48.400,00

 

 

 

 

 

 

 

6) Em uma operação de resgate de um título, a vencer em 4 meses, a taxa empregada deve ser de 18% ao ano. Se o desconto comercial simples excede o racional simples em R$ 18,00, qual o valor nominal do título? Resposta: R$ 5.300,00.

i = 18 % aa

n = 4m = 4/12 a + 1/3 a

dF = dD + 18

 dD =dF -18

 

Onde dF é o desconto simples comercial (por fora) e dD é o desconto simples racional (por dentro).

dD = N.i.n/1+i.n

dD = dF/i+i.n

dF  -18 =

 dF/1+0,18.1/3

dF - 18 =dF/1,06

1,06.dF-19,08

dF =318

 

dF = N.i.n tem-se

318=N.0,18.1/3

N=5.300

 

7) João deve a um banco R$ 190.000,00 que vencem daqui a 30 dias. Por não dispor de numerário suficiente, propõe a prorrogação da dívida por mais 90 dias. Admitindo-se a data focal (zero) e que o banco adote a taxa de desconto comercial simples de 72% ao ano, qual o valor nominal do novo título? Resposta: R$ 235.600,00.

Transformar as unidades de tempo em meses.
prazo de divida 30 D = 1 mês -- Após prorrogação  = 30 D = 90 D = 120 = 4 mês

i = 72% / 12 am = 6 % am
Dívida inicial R$ 190.00,00

Como, na data focal Zero os valores atuais das dividas devem ser iguais, adotando - se o desconto comercial (simples, tem - se :

N.(1 - 0,06 . 4 ) =
190.000 . ( 1 - 0,06 . 1 )
0,76 . N = 178.600
N= 235.000,00  

 

 

 

 

 

8) Determinar o montante acumulado no final de quatro semestres e os juros recebidos a partir de um capital de R$ 15.000,00, com uma taxa de 1% ao mês, pelo regime de capitalização simples. Resposta: R$ 18.600,00 e R$ 3.600,00.

      J = C*(i/100)*t

J = 15000*(1/100)*24 = 3600

M = C + J = 15000 + 3600 = 18600

 

 

 

 

9) Quanto tempo é necessário para se triplicar um capital de R$ 15,00, aplicado a uma taxa de desconto comercial simples de 0,5% ao mês. Resposta: 400 meses

 

 

 

 

 

10) Um consumidor financiou um eletrodoméstico em 24 pagamentos de R$ 28,42 (parcelas fixas), vencendo a primeira parcela de hoje a 30 dias. Logo na primeira prestação houve um atraso de 11 dias para o pagamento. Sabe-se que o valor pago de juros foi de R$ 1,56. Qual foi taxa mensal de juros comercial simples praticada pelo estabelecimento comercial? Resposta: 14,97% ao mês.

Dividindo os juros por 11 encontraremos o valor de juros diário em centavos:
(1,56/ 11 ) = 0,14181818  centavos  de juros diários
 
Multiplicando por 30 , encontraremos o valor de 30 dias de juros ou seja 1 mês de juros.
0,14181818  . 30 dias = 4,25454545...  de juros ao mês
 
agora por uma regra de três poderemos encontrar o valor do juros em porcentagem:
 
se 28,42   ...............corresponde a  100%
 
então 4,25454545....corresponde a X%
 
 
 
28,42 X = 425,454545...
 
X = 425,454545.../28,42
 
X = 14,97%

Outra.

 
1 parcela atraso de 11 dias = 1,56 de juros
1,56 / 11dias = 0,14181818
0,1418 * 30dias  = 4,2545 ao mês
4,2545 / 28,42 = 0,149702
0,149702 * 100 = 14,97%  

 

 

 

 

 

11) Um investidor possui uma certa quantia depositada no Banco “A”. Este investidor efetuou um saque equivalente a um terço (⅓) dessa importância e aplicou em um investimento empresarial a juros comercial simples de 6% ao mês durante 8 meses, recebendo ao final deste período o valor acumulado de R$ 1.850,00. Qual foi o valor aplicado no investimento empresarial? Qual era o valor aplicado no Banco “A” antes do saque de um terço (⅓)? Resposta: R$ 1.250,00 e R$ 3.750,00.