Lista 8 exercicios desconto composto.

LISTA DE EXERCÍCIOS - Nº 8 – DESCONTO RACIONAL COMPOSTO

1Calcule o valor atual racional composto de um titulo no valor nominal de R$ 1.120,00, com vencimento para 2 anos e 6 meses, à taxa de juro composto36% ao ano, capitalizados semestralmente. Resposta: R$ 489,56.

vn = 1.120

n = 2 anos e 6 meses = 5 semestres

i = 35% ao ano = 0,36/2 semestres = 0,18 ao semestre

Va = Vn /(1+ i )^n

v a = 1.120 / (1+0,18)5

va = 1.120 / 2,2877

va = R$ 489,57

 2) Qual o desconto racional composto que um titulo de R$ 5.000,00 descontado 3 meses antes do seu vencimento, à  taxa de 2,5% ao mês? Resposta: R$ 357,00.

 Vn = 5000,00

N = 3 meses

I = 2,5% = 0,025

Va = ?

Va = vn / ( 1 + i ) ^3

 va = 5.000 / (1 + 0,025)3

  va = 5.000 / 1,07689

  va  = 4.643

drc = vn - va

 drc  = 5.000 – 4.643

  drc = R$ 357,00

3) Um titulo de valor nominal de R$ 1.500,00 foi resgatado 3 meses antes de seu vencimento, tendo sido contratado à taxa de 30% ao ano, capitalizados mensalmente. Qual foi o desconto racional composto concedido? Resposta: R$ 107,10.

Vn = 1500,00

N = 1.500

n = 3 meses

 i = 30% ao ano = 0,3/12 = 0,025 ao mês

va = vn / 1 + i)^3

 Va = 1.500 / (1 + 0,025)3

va = 1.500 / 1,07689

 va = 1.392,89

drc = vn -va

 drc = 1.500 – 1.392,89 = drc  R$ 107,10

 4) Em uma operação de desconto racional composto, o portador do titulo recebeu R$ 36.954,00 como valor de resgate. Sabendo que a antecipação foi de 4 meses e o desconto de R$ 3.046,00, qual a taxa de juro mensal adotada? Resposta: 2% ao mês.

Va = 36954,00

N = 4 meses

Drc = 3.046,00

Taxa de desconto efetiva exponencial, que é calculada conforme segue:

 Fórmula: de = (Vn/Vr)^(h/n) -1

 Substituindo os dados na fórmula, temos:

 de = (40000/36954)^(360/120) -1

de = 1,082426801^3 -1

de = 1,268222958 -1

de = 0,268222958 a.a.

de = 1,268222958^(1/12) - 1 a.m.

de = 1,019998738 - 1 a.m.

de = 0,019998738 a.m.

de = ~ 2% a.m.

 Obs.: esta taxa, se aplicada ao valor de resgate (36954), pelo prazo de 4 meses, reproduz o valor nominal do título, ou seja:

1,019998738^4*36954 = 40.000.

Como o enunciado pede a taxa mensal de juros adotada na operação, a resposta é: i = ~ 1,85% a.m.

5) Desejamos resgatar um titulo, cujo valor nominal é de R$ 7.000,00, faltando ainda 3 meses para o seu vencimento. Calcule o seu valor atual, sabendo que a taxa de desconto racional composto é de 3,5% ao mês. Resposta: R$ 6.313,60.

vn = 7.000
n = 3 meses
va = ?

i = 3,5% ao mês

va = vn / (1+ i )^n

va = 7.000 / (1+0,035)3

va = R$ 6.313,60

6) Calcule o valor atual de um título de R$ 40.000,00, resgatado 1 ano e 4 meses antes do seu vencimento, sendo a taxa de desconto racional composto de 24% ao ano. Resposta: R$ 29.137,83.

 va = ?

 vn = 40.000

 n = 16 meses

 i = 24% ao ano = 24/12 = 2% ao mês

va = vn/(1+ i )^16

 va = 40.000 / (1+0,02)^16

va = 40.000 / 1,3728

 va = R$ 29.137,83

7) O valor nominal de um título é de R$ 200.000,00. Seu portador deseja descontá-lo 1 ano e 3 meses antes do seu vencimento. Calcule o valor do resgate sabendo que a taxa de desconto racional composto é de 28% ao ano, capitalizados trimestralmente. Resposta: R$ 142.597,24.

Vn  = 200.000

n = 1 ano e 3 meses = 5 trimestres

va = ?

i = 28% a.a = (28/4)x100 = 0,07 a.t

va = 200.000 / (1 + 0,07)5 =

 va = 200.000 / 1,40255 =

va = R$ 142.597,24

8) Determine o valor do desconto racional composto de um titulo de valor nominal de R$ 6.200,00, descontado 5 meses antes do seu vencimento `taxa de 3% ao mês. Resposta: R$ 851,83,

Vn = 6.200,00

N = 5 meses

I = 3% = 0,03

Va = ?

Va = vn/( 1 + i)^n

6.200,00 / 1,03^5= 5.348,17

Dc = vn-va = 

Dc = 6.200 – 5.348,17 =

Dc = R$ 851,83

9) Calcule o desconto racional composto obtido em um título de valor nominal de R$ 3.800,00, resgatado 8 meses antes do seu vencimento, sendo à taxa de desconto de 30% ao ano, capitalizados bimestralmente. Resposta: R$ 673,73.

fórmula do desconto é dada por D=M(1-(1+i)^-n), vide referência [1]

 4) A taxa bimestral é de 30/6=5%. Por ser uma taxa capitalizada em dois meses, nós temos apenas que dividir a taxa nominal por 6. Veja na referência [2]. Essa é um nomenclatura da matemática financeira gera muita confusão.

  Então i=5% a.b. e n=4 bimestres:

 D = 3800(1-(1+0,05)^-4) = 673,73

 10) A que taxa de desconto racional composto foi descontada uma divida de R$ 5.000,00 que, paga 5 bimestres antes do seu vencimento, reduzida a R$ 3.736,00? Respostas: 6% ao bimestre.

 Drc = vn – va

drc = 5.000,00 – 3.736,00

N = 5 bimestre

11) Por um titulo de R$ 2.300,00 paguei R$ 2.044,00 com um desconto racional composto de 3% ao mês. De quanto tempo antecipei o pagamento? Resposta: 4 meses.

Vn = 2.300,00

Va = 2.044,00

I = 3% = 0,03

N = ?

Drc = vn – va

Drc = 2300 – 2.044 = 256

 12) Calcule o valor atual do desconto racional composto, à taxa de 2,5% ao mês, do capital de R$ 6.000,00 disponível no final de 4 meses. Resposta: R$ 5.435,70.

 I = 2,5 = 0,025

Vn = 6.000,00

N = 4 meses

Va = vn /1+ i )^n

Va = 6000/1,103812891

Va = R$ 5435,70

13) Qual o valor atual de um título de R4 15.000,00 , resgatado a 6 meses de seu vencimento, sabendo que a taxa de desconto racional composto é de 6% ao bimestre? Resposta: R$ 12.594,29

Va = 15.000,00

N = 6 meses = 3 bimestre

I = 6% = 0,60

D = N[(1 + i)^n - 1]/(1 + i)^n

 D = 15000[1,06^3 - 1]/1,06^3

 D = 2405,71

 Como D = N - A, vem:

 2405,71 = 15000 - A

 A = 15000 - 2405,71 = 12594,29

14) Um titulo no valor nominal de R$ 2.000,00 sofreu um desconto racional composto real de 40% ao ano, capitalizados semestralmente, 2 anos antes do vencimento. Qual o seu valor atual? Resposta: R$ 964,51

Vn = 2.000,00

I = 40% = 0,40

N= 2 anos

Drc = vn[(1 + i)^n - 1]/(1 + i)^n

 Drc = 2000[1,2^4 - 1]/1,2^4

 Drc = 1035,49

 va = N - D

 va = 2000 - 1035,49 = 964,51

15) Um titulo de R$ 75.000,00 foi resgatado, com um desconto racional composto de 3,5% ao mês, por R$ 67.646,00. Calcule o tempo de antecipação do resgate. Resposta: 3 meses.

D = N - A

 D = 75000 - 67646 = 7354

 D = N[(1 + i)^n - 1]/(1 + i)^n

 7354 = 75000[1,035^n - 1]/1,035^n

 7354.1,035^n/75000 - 1,035^n = -1

 1,035^n(7354/75000 - 1) = -1

 1,035^n = -1/(7354/75000 - 1)

 1,035^n = 1,108713006

 log(1,035^n) = log(1,108713006)

 n.log(1,035) = log(1,108713006)

 n = log(1,108713006)/log(1,035)

 n = 2,999872344 => ~3 meses

 16) Uma letra paga 5 meses antes do seu vencimento, com um desconto racional composto de 4% ao mês, ficou reduzida a R$ 24.658,00. Calcule o valor da letra. Resposta: R$ 30.000,23.

D = N - A => D = N - 24658

  mas D = N[(1 + i)^n - 1]/(1 + i)^n, donde vem:

 D = N[(1 + i)^n - 1]/(1 + i)^n

 N - 24658 = N[1,04^5 - 1]/1,04^5

 N - N[1,04^5 - 1]/1,04^5 = 24658

 N(1 - 0,178072893) = 24658

 N = 24658/0,821927107

 N = 30.000,23

17) Um titulo de valor nominal de R$ 30.000,00 foi resgatado 1 ano e 6  meses antes do vencimento por R$ 23.037,00. Qual foi a taxa trimestral de desconto racional composto? Resposta: 4,5 ao trimestre.

 Vn = 30.000,00

N = 18 meses =  6 tri

Va = 23.037,00

18) Um titulo pagável em 1 ano e 6 meses sofre um desconto racional composto real de R$ 21.065,00. Calcule o valor nominal do titulo, sabendo que a taxa empregada nessa transação é de 40% ao ano, capitalizados semestralmente. Resposta: R$ 50.000,44.

  n =18 meses = 1,5 ano

 Va = 21.065,00

I  = 40 % = 0,40/12= 0,033 . 6 = 0,20

Vn = va . (1+i)^n

vn = 21.065,00/( 1+0,20)^3

vn = 21.065,00/1,030149504

vn = 20448,49

atençao

19) Um comercial papper com valor de face de US$ 1.000.000,00 e vencimento 3 anos deve ser resgatado hoje a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, e considerando o desconto racional composto, obtenha o valor de resgate. Resposta: US$ 751.314,80

Vn = 1.000.000,00

N = 3 anos

I = 10% = 0,10

Drc = vn – va

Va = vn/(1+i)^n

Va = 1.000.000,00 / 1+0,10^3

Va = 1.000.000,00/ 1331

Va = 751. 314,80

20) Uma empresa estabelece um contrato de leasing para o arrendamento de um equipamento e recebe como pagamento uma promissória no valor nominal de US$ 1.166.400,00, descontada 2 meses antes de seu vencimento , à taxa de 8% ao mês. Admitindo-se que foi utilizado o sistema de capitalização composta, determine o valor do desconto racional composto. Resposta: US$ 166.400,00.

É a fórmula dos juros compostos "invertida":

  P = C (1+i)^n

  C = P ÷ (1+i)^n

 C = R$ 1.166.400,00 ÷ ( 1+ 0,08 )²

 C = R$ 1.166.400,00 ÷ 1,1664

  C = R$1.000.000,00 ......(valor atual corrigido á taxa de 8%)

 R$166.400,00

21) Uma duplicata no valor de R$ 2.000,00, é resgatada 2 meses antes do vencimento, obedecendo o critério do desconto comercial composto. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial composto é de R$ 10% ao mês, determine o valor descontado e o valor de desconto. Respostas: R$ 1.620,00 e R$ 380,00.

 A=N(1-i)^N

A=2.000(1-0,1)^2

A=1620

 N-A=D

2000-1620=D

 D=380

 22) Um titulo no valor nominal de R$ 59.895,00 foi pago 3 meses antes do vencimento.Determine o valor liquido, sabendo-se que a taxa mensal de desconto racional composto é de 10%. Resposta: R$ 45.000,00.

Vn = 59.895,00

N = 3 meses

I = 10% = 0,10

Drs =vn – va

Va = vn/ (1+i)^n

Va = 59.895,00/1+0,10^3

Va = 59.895,00/1,331

Va = R$ 45.000,00